X
تبلیغات
ریاضی

ریاضی
درسی جالب وهیجان آور 
قالب وبلاگ
آخرين مطالب

.:: رابطه ی فیثاغورس ::.

(Pythagorean relation)

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر.

 

 

 

 

 

 

وتر مثلث قائم الزاویهدر هر مثلث قائم الزاویه، ضلع روبرو به زاویه ی قائمه وتر نام دارد . 

 

 BC وتر مثلث قائم الزاویه ی    است.

 

اعداد فیثاغورسی:

اگر در مثلثی مربع بزرگترین ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد ،آن مثلث قائم الزاویه است. آن دسته از اعداد طبیعی که مربع یکی برابر مجموع مربعات دو تای دیگر باشد، را اعداد فیثاغورسی می نامند. این اعداد    می توانند اندازه های اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند.

مانند: (5 و 4 و 3) ، (13 و 12 و 5) ، (17 و 15 و 8) و ..............

 

رابطه ی فیثاغورس:

 

 

 

1-

í در مثلث قائم الزاویه, ضلع مقابل به زاویه 30 درجه, نصف وتر و ضلع مقابل به زوایه 60درجه, برابر اندازه وتر می باشد.


2-

í در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 درجه برابر  اندازه وتر می باشد.


3- با توجه به شکل های مقابل, تساوی زیر را می توان نوشت:


4-

 


5-


6-

í در مثلث قائم الزاویه, میانه وارد بر وتر نصف وتر است.


7-

í حاصلضرب دو ضلع زاویه قائمه برابر است با حاصلضرب وتر در ارتفاع وارد بر وتر.


8-

í اگر یک زاویه از مثلث قائمه الزاویه ای ˚15 یا ˚75 باشد, ارتفاع وارد بر وتر ربع وتر است.


9-

قطر مکعب مستطیلی به ابعاد a و b و c برابر است با 


10-

 

 

مثال ها

در هر یک از شکلهای زیر مقادیر مجهول را بیابید.

 

تصویر 1:

حل:


تصویر 2:

حل:


تصویر 3:

حل:


تصویر 4:

حل:


تصویر 5:

حل:


تصویر 6:

حل:


 تصویر 7:

حل:

 

اکنون در مثلث قائم الزاویه  داریم:


تصویر 8:

حل:

ضلع مقابل به زاویه ˚45 در مثلث قائم الزاویه برابر  وتر می باشد.

ضلع مقابل به زاویه ˚30 در مثلث قائم الزاویه, برابر نصف وتر است. بنابر این AC دو برابر AH می باشد.

2=1×2=AC    

ضلع مقابل به زاویه ˚60 در مثلث قائم الزاویه, برابر  وتر می باشد، بنابراین HC برابر است با :

 

 


تصویر 9:

AB=x            

حل:

 


تصویر10:

حل:

 

 


 

 þ تست1 : 

مساحت نیم دایره ها S۳,S۲,S۱ نامیده شده است. با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه, چه رابطه ای بین مساحت نیم دایره ها برقرار است؟

ب) 

الف) 

د) 

ج) 

 

 

 

 


 

 þ تست2 :  

محیط یک لوزی که رأس های آن وسط های طول و عرض مستطیلی به طول 12 و عرض 9 باشد, برابر است با:

د) 24

ج) 26

ب) 28

الف) 30

 


 

þ تست3 :  

در یک مثلث قائم الزاویه اندازه ی وتر C و ضلع a دو عدد صحیح متوالی هستند. مربع ضلع دیگر برابر است با:

د) c+a

ج) c-a

ب) 

الف) c.a

 


 

þ تست4 :  

در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه متساوی الساقین است مساحت مربع چند برابر مساحت مثلث است؟

ب) 4

الف) 3

د) 

ج) 2

 

 

 


 

þ تست5 :  

راننده ای با اتومبیل خود از شهر A حرکت کرد. پس از طی 80 کیلومتر به طرف شرق 50 کیلومتر نیز به طرف شمال و 40 کیلومتر به طرف شرق طی کرد تا به شهر B رسید. فاصله دو شهر A و B به صورت مستقیم چند کیلومتر است؟

د) 135

ج) 130

ب) 125

الف) 120

 


 

þ تست6 :  

یک نردبان به طول 25 متر بر دیوار عمودی ساختمانی تکیه دارد. فاصله ی پایه ی نردبان از پی دیوار 7 متر است. اگر بالای نردبان 4 متر سر بخورد, آنگاه مقداری که پایه ی نردبان سر می خورد, برابر است با:

د) 8

ج) 5

ب) 15

الف) 9

 


 

þ تست7 :  

در ربع دایره ی مقابل با توجه به اندازه های داده شده, اندازه CD چقدر است؟

 

د) 3

ج) 

ب) 

الف) 

 

 

 

 


 

þ تست8 :  

در شکل مقابل شش ضلعی منتظم است اگر محیط دایره برابر p۴ باشد، مقدار AC کدام است؟ 

د) 14/3

ج) 

ب) 

الف) 4

 


 

þ تست9 :  

مساحت ذوزنقه مقابل برابر است با :   

د) 36

ج) 27  

ب) 24

الف) 18

 


 

þ تست10 :  

در شکل مقابل مجموع مساحت های دو ناحیه ی رنگی برابر است با:   

 

 

د) 54 

ج) 30 

ب) 24

الف) 50

[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 23:0 ] [ حسین معصومی ]

.:: زاویه و دایره ::. دایره: (circle) مجموعه نقاطی از صفحه که فاصله ی آن از یک نقطه به نام مرکز برابر باشند ، دایره نامیده می شود.دایره ی c به مرکز o و شعاع R را با نماد  نشان می دهیم . وتر دایره :(circle  chord) پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می کند . هر دایره بیشمار وتر دارد . مانند وتر های AB و CD در دایره ی C .  قطر دایره:(circle axis) بزرگترین وتر در هر دایره را قطر می نامند . قطر وتر ی از دایره است که از مرکز می گذرد مانند قطر MN در دایره ی C. کمان دایره :(circle arc) قسمتی از محیط دایره را می گویند که به دو نقطه روی محیط دایره محدود شده باشد. اگر دو نقطه ی A و B را روی دایره C در نظر بگیریم دو کمان پدید می آید ، کمان کوچکتر را به صورت  و کمان بزرگتر را به صورت  می خوانیم . í نقطه و دایره : نقطه و دایره نسبت به هم 3 وضعیت دارند :1 نقطه داخل دایره است. 2 نقطه روی دایره است. 3 نقطه خارج دایره است . í وضع یک خط و یک دایره نسبت به هم:خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:1. خط خارج دایره است که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است. یعنی  d 2.خط بر دایره مماس است.که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است . یعنی d = r 3.خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله ی خط تا مرکز دایره از شعاع کو چکتر است.یعنی: d  r  خط و دایره í زاویه و دایره:زاویه ی مرکزی:زاویه ای که رأس آن مرکز دایره باشد زاویه ی مرکزی نامیده می شود.در شکل مقابل زاویه ی AOB یک زاویه مرکزی است و کمان AB کمان مقابل آن می باشد.نکته: اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان مقابلش مساوی است. زاویه ی مرکزی در دایره: زاویه ی محاطی: زاویه ی محاطی زاویه ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن دو وتر از همان دایره باشند .در شکل مقابل زاویه ی  یک زاویه ی محاطی است و کمان BC ، کمان مقابل آن می باشد. نکته :اندازه ی زاویه ی محاطی نصف کمان مقابل آن است.زاویه ی محاطی در دایره : زاویه ی ظلّی : هر زاویه ای که رأسش روی دایره و یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد ، زاویه ی ظّلی نامیده می شود.در شکل مقابل  یک زاویه ی ظّلی و کمان AB کمان مقابل به زاویه ی ظّلی A می باشد.نکته : اندازه ی زاویه ی ظّلی نصف کمان مقابل آن است. زاویه ی ظّلی í مثلث و دایره :دایره ی محاطی مثلث :3 نیمساز زوایای داخلی مثلث یکدیگر را در یک نقطه مانند o قطع می کنند.می دانیم فاصله ی نقطه ی o از 3 ضلع مثلث به یک فاصله است (با توجه به مبحث تساوی مثلث ها)؛ یعنی اگر عمودی ها ی OK ،OH و OE را بر اضلاع مثلث فرود آوریم ،داریم : OE=OH=OKپس اگر دایره ای به مرکز O و شعاع OH رسم کنیم ، این دایره در K و H و E بر سه ضلع مثلث مماس خواهد بود .این دایره ، دایره ی محاطی مثلث نام دارد . مرکز دایره ی محاطی مثلث نقطه ی تلاقی نیمساز های زوایای داخلی آن است. محاسبه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث:شعاع دایره ی محاطی مثلث را با حرف r نشان می دهیم .  دایره ی محیطی مثلث:سه عمود منصف اضلاع یک مثلث بر یک نقطه مانند O می گذرند. می دانیم فاصله ی O از سه رأس مثلث به یک فاصله است، یعنی OA=OB=OC . (با توجه به مبحث تساوی مثلث ها)اگر به مرکز O و شعاع مثلأ OA دایره ای رسم کنیم این دایره بر دو رأس دیگر مثلث نیز عبور خواهد کرد . به این دایره ، دایره ی محیطی مثلث می گویند .مرکز دایره ی محیطی مثلث نقطه ی تقاطع عمود منصف های اضلاع آن است. محاسبه ی شعاع دایره ی محیطی مثلث:شعاع دایره ی محیطی مثلث را با حرف R نشان می دهند . در شکل زیر به دو مثلث  توجه کنید ؛ این دو مثلث با هم متشابهند .تناسب اضلاع متناظر دو مثلث را می نویسیم: لذا در هر مثلث حاصل ضرب دو ضلع برابر است با : قطر دایره ی محیطی در ارتفاع وارد بر ضلع سوم یعنی : از طرفی می دانیم مساحت مثلث  برابر است با :  حالا با توجه به رابطه ی (1) و (2) می توان نوشت: دایره و چند ضلعی های منتظم :چند ضلعی منتظم: چند ضلعی که تمام اضلاع آن با هم و همه ی زاویه هایش نیز با هم مساوی باشند یک چند ضلعی منتظم نامیده می شود . مانند مربع که یک چهار ضلعی منتظم است. رسم چند ضلعی منتظم:برای رسم یک n ضلعی منتظم کافی است دایره ای را به n قسمت مساوی تقسیم کرده و نقاط تقسیم را به هم وصل کنیم .تقسیم دایره به n قسمت مساوی به صورت زیر انجام می شود:1. یک زاویه ی مرکزی به اندازه ی  رسم کنیم .2.وتر نظیر این زاویه مرکزی را می کشیم .3. پرگار را به اندازه ی این وتر باز کرده و پشت سر هم کمان های متوالی می زنیم تا دایره به n قسمت مساوی تقسیم شود . مثال:چهار ضلعی منتظم: پنج ضلعی منتظم: شش ضلعی منتظم:  بازی و ریاضی :ساخت چند ضلعی های منتظم با گره زدن کاغذ پنج ضلعی منتظم:نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد. برای ساخت یک پنج ضلعی منتظم با این نوار به تر تیب زیر عمل کنید:1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنیدمانند شکل زیر: 2. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید. 3. نوار های اضافی را ببرید ،پنج ضلعی منتظم بوجود می آید.4. گره را باز کنید و ذوزنقه های تشکیل شده را با هم بررسی و مقایسه کنید. هفت ضلعی منتظم:نوار بلند کاغذی آماده کنید که عرض یکسان داشته باشد. برای ساخت یک هفت ضلعی منتظم با این نوار به ترتیب زیر عمل کنید:1. دو سر نوار را بگیرید و با آن یک گره ساده بزنید. (مانند پنج ضلعی منتظم) 2. گره را سفت نکنید و وسط گره (ناحیه ی 1) را در نظر داشته باشید.3. مجددأ یک سر نوار را به قصد زدن گره دوم زیر سر دیگر برده ،و از ناحیه 1 (وسط گره اول) عبور دهید. 4. گره را به آرامی سفت کنید و رد های کاغذ را صاف کنید. 5. نوار های اضافی را ببرید ،هفت ضلعی منتظم بوجود می آید.     1- در شکل مقابل زاویه ی  از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد دو وتر دلخواه در داخل دایره بوجود آمده است. 2- در شکل مقابل زاویه ی  از رابطه ی زیر بدست می آید . این زاویه از برخورد امتداد دو وتر دلخواه در خارج دایره بوجود آمده است. 3- در شکل مقابل زاویه ی  از رابطه ی زیر بدست می آید : 4- 5- شعاع دایره ی محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره ی محاطی آن مثلث است. 6- مرکز دایره ی محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است. 7- مساحت مثلثی به اضلاع c , b , a از رابطه ی زیر بدست می آید:   8- سهم در چند ضلعی منتظم پاره خطی است که از مرکز چند ضلعی به ضلع آن عمود می شود.مانند OA در شش ضلعی منتظم شکل مقابل.برای بدست آوردن مساحت یک n ضلعی منتظم از رابطه ی زیر استفاده می شود.  9- برای یک n ضلعی منتظم زاویه ی داخلی از رابطه ی  و زاویه ی مرکزی از رابطه ی بدست می آید. 10- مجموع زوایای داخلی یک n ضلعی  از رابطه ی مقابل بدست می آید:  180× (n - ۲)  مثال هادر هر یک از شکل های زیر مقادیر مجهول را بیابید.در تمامی شکل ها O مرکز دایره است.تصویر 1:حل: تصویر 2:شکل کمکی:حل:تصویر 3:شکل های کمکی : حل:تصویر 4:حل:تصویر 5:شکل های کمکی:  حل:   تصویر 6:حل:تصویر 7:هشت ضلعی منتظم است.حل:تصویر8:شکل های کمکی:حل:تصویر9:حل:تصویر10:شکل های کمکی:حل:تصویر 11:شکل های کمکی:حل:تصویر 12:حل:تصویر 13:حل:   þ تست1 : در شکل مقابل وتر های AB و CD بر هم عمودند . اندازه ی کمان  کدام است؟     د) ˚110ج) ˚120ب) ˚55الف) ˚60    þ تست2 :  در شکل مقابل  چند درجه است؟      د) ˚140ج) ˚220ب) ˚120الف) ˚70  þ تست3 :  در شکل مقابل y چند درجه است؟  ب) ˚120الف) ˚145د) ˚100ج) ˚108     þ تست4 :  فاصله ی خط d از مرکز دایره ای برابر 5cm است . اگر قطر دایره دو برابر این فاصله باشد ، وضعیت خط و دایره نسبت به هم کدام است؟ب)خط و دایره متقاطع اند.الف)خط  دایره را قطع نمی کند.د)خط ودایره دو نقطه مشترک دارند .ج:خط بر دایره مماس است.  þ تست5 :  مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 و 8 و 10 مفروض است. دایره ای رسم کرده ایم که از رأ س های مثلث          می گذرد. شعاع دایره چقدر است؟د) 10ج) ب) الف) 5  þ تست6 :  اندازه ی شعاع دایره ی محاطی مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 6cm چقدر است؟د) ج) ب) الف)   þ تست7 :  در شکل مقابل 6 ضلعی منتظم است . اگر محیط دایره p۴ باشد، طول هر ضلع 6 ضلعی منتظم برابر است با:  د) 2 ج) 3ب) الف) 4   þ تست8 :  در شکل مقابل AB  DE پنج ضلعی منتظم است.اگر M قرینه ی نقطه ی A نسبت به خط BE باشد، اندازه ی زاویه ی  چقدر است؟ د) ˚32ج) ˚30ب) ˚35الف) ˚36  þ تست9 :  ده نقطه روی محیط دایره ای قرار دارند. حداکثر تعداد وتر هایی که می توان با وصل کردن این نقطه ها به یکدیگر رسم نمود چند تا است اگر هیچ دو وتری متقاطع نباشند ؟د) 35ج) 27ب) 17الف) 15  þ تست10 :  اگر AB یکی از ضلع های یک پنچ ضلعی منتظم و AD نیز یکی از ضلع های یک نه ضلعی منتظم در دایره C باشند ، اندازه زاویه ی A برابر است با:  د) ˚130ج) ˚124ب) ˚135الف) ˚120
[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 23:0 ] [ حسین معصومی ]

.:: معادله ::.

معادله equation معادله به معنی برابر کردن ،مساوی کردن ، هم وزن کردن دو چیز و هم وزنی می باشد و در ریاضی تساوی دو عبارت جبری که به ازای مقادیر معین صحیح میباشد را معادله گویند . هر تساوی به صورت 13=5+a یا 20=4x را یک معادله می نامیم که اولی به ازای عدد 8 و دومی به ازای عدد 5 صحیح است .

مثال: چند موز لازم است تا کفه های ترازو هم وزن شوند.

حل: 6 موز

 

روش حل معادله

منظور از حل معادله پیدا کردن عددی است که اگر به جای مجهول قرار بدهیم ، تساوی بر قرار شود . برای مشخص کردن جوابهای معادله اول باید هر چه عبارت مجهول داریم ، ببریم یک طرف تساوی و هر چه عدد معلوم داریم ، ببریم طرف دیگر تساوی و ساده کنیم تا معادله حل شود . این هم خیلی مهم است که بدانید که اگر جمله ای از یک طرف تساوی به طرف دیگر تساوی منتقل شود ، علامتش عوض می شود.

مثال1: 

حل :    

          


مثال2: 

حل:     

           


مثال3:  

حل: می دانیم دو طرف یک تساوی را می توان در عددی غیر از صفر ضرب کرد طرفین تساوی را در مخرج مشترک کسرها ضرب می کنیم تا مخرج کسرها از بین برود سپس معادله ی بدست آمده را حل می کنیم .

  

       


مثال4:    

ابتدا دو طرف معادله را در مخرج مشترک کسرها ضرب می کنیم ، سپس معادله را حل می کنیم .

  

  


مثال5:  

حل: برای حل این معادله ابتدا آنرا به صورت  می نویسیم و سپس از خاصیت طرفین وسطین کمک می گیریم.

            

       

 

 

 

1. به دو طرف معادله می توان مقادیری اضافه یا کم کرد.

2. دو طرف یک معادله را می توان در عددی غیر صفر ضرب کرد.

3. دو طرف یک معادله را می توان بر عددی غیر صفر تقسیم کرد.

4. در هر معادله می توان جمله های مساوی را از دو طرف معادله حذف کرد.

5. در هر معادله می توان جمله ای را با تغییر دادن علامت آن به طرف دیگر معادله انتقال داد.

6. هر گاه معادله ای به شکل کسری باشد ، برای از بین بردن مخرج کسرها ،دو طرف معادله را در کوچکترین مضرب مشترک مخرج ها ضرب می کنیم .

7. هر گاه معادله ای به شکل تواندار باشد (معادله ی توانی )، معمولأ باید با استفاده از تجزیه پایه های اعداد تواندار را در دو طرف معادله ، یکسان کنیم.

مثال:معادله ی توانی مقابل را حل کنید.            33x=۸۱

حل:

   

8. هر گاه معادله ای به شکل  باشد ، آنگاه برای حل معادله می توان از خاصیت طرفین وسطین استفاده کرد و بنویسیم

A × D = B × C


مثال:معادله ی زیر را حل کنید.

               

حل:

       

9.هر گاه در معادله ای مقدار یک کسر مساوی صفر باشد ، آنگاه برای حل معادله صورت آن کسر را مساوی صفر می نویسیم .


مثال: معادله ی زیر را حل کنید.

 

حل:مخرج کسر یک عدد مثبت می باشد و برای اینکه حاصل این کسر برابر صفر شود کافی است صورت آن صفر باشد . یعنی:


10. به معادلاتی که در آن ها علاوه بریک مجهول ، متغییر دیگری هم باشد، معادلات پارامتری گفته می شود.

جواب این معادلات بستگی به مقدار پارامتر دارد.

مثال: معادله ی زیر را بر حسب مقدار m حل کنید .

2x - 4m = 3

حل:       

 

 

 


11. هر گاه معادله ای به صورت A + B = 0 باشد ،آنگاه حاصل جمع دو عبارت وقتی صفر است که یا هر دو عبارت صفر باشند یا قرینه ی یکدیگر شوند.

مثال: معادله ی مقابل را حل کنید.

  

حل:حاصل جمع دو عدد مثبت صفر شده است ، بنابراین هر کدام از آن ها صفر است.

        

 

 

 

þ تست1 : 

محیط مثلث ABC برابر 35cm است . طول ضلع AC کدام است؟

ب) 12

الف) 7

د) 16

ج) 14 

 


 

þ تست2 :  

در معادله  مقدار x برابر است با:

 د) 2

ج) 12

ب) 10

الف)  

 


 

þ تست3 :  

جواب معادله  x + ۲) (x - ۲) - x۲ = ۲x ) کدام یک از گزینه ها ی زیر است؟

د) 1-2

ج) 2-2

ب) 2        

الف) صفر

 


 

þ تست4 :  

در معادله ی مقابل مقدار x کدام است؟  6x + ۶x+۱ = ۲x + ۲x+۱ + ۲x+۲

د) 3-2

ج) 2-2

ب) صفر

الف) 1-

 


 

þ تست5 :  

 در یک عدد دو رقمی اگر ترتیب ارقام را بر عکس کرده با عدد اولیه جمع کنیم ، حاصل جمع برابر 132 می شود . مجموع یکان و دهگان این عدد کدام است؟    

د) 8

ج) 14 

ب) 10      

الف) 12

 


 

þ تست6 :  

اگر  باشد، آنگاه نسبت  کدام است؟

د) صفر

ج)2-2

ب)1-2

الف) 2

 


 

þ تست7 :  

اگر x و y دو عدد طبیعی باشند و داشته باشیم: 3xy=۱۴۴ و 5x۲ = ۸۰ آنگاه مقدار y کدام است؟

د) 12

ج) 11

ب) 10

الف) 9 

 


 

þ تست8 :  

اگر ab =۱۰ و bc = ۶ و ac = ۱۵ باشد، مقدار abc کدام است؟

د) 25

ج) 49

ب) 30

الف) 36

 


 

þ تست9 :  

 

 باشد ، مقدار a -b برابر است با:

می دانیم 256 = 44 ، اگر

د) 7

ج) 6

ب) 5

الف) 4

 


 

þ تست10 :  

سارا می خواهد برای دوستانش مداد هدیه بخرد . اگر مداد 150 تومانی بخرد 200 تومان زیاد می آورد . اگر مداد 175 تومانی بخرد 100 تومان کم  می آورد . دوستانش چند نفر ند؟

د) 12

ج) 13

ب) 14

الف) 15


[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 22:57 ] [ حسین معصومی ]

.:: جبر ::. جبر: (algebra)در لغت جبر مقابل کلمه اختیار است و به معنی ناچار کردن می باشد. جبر و مقابله قسمتی از ریاضیات است که در آن برای حل مجهولات حروف و علامات را به جای اعداد به کار می برند. عبارت جبری: (algebra expression)عبارتی که شامل یک یا چند جمله جبری باشد مانند : یک جمله ای جبری: (algebra monomial)در حالت کلی یک جمله ای بر حسب x به صورت axn  نوشته می شود که در آن a ضریب عددی و x متغیر حرفی و n عدد صحیح نامنفی است . مانند: پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری: به عبارت جبری  توجه کنید. اگر در این عبارت به جای a ، عدد 5 قرار دهیم، حاصل عبارت چقدر      می شود؟حل: حاصل برابر 35 می شود، چون : 35= 5- (5) ×3+52عدد 35 مقدار عددی عبارت جبری  بازای 5=a می باشد. ساده کردن یک عبارت جبری: دو تک جمله ای که قسمت حرفی آن ها عینا مثل هم باشد، متشابه نامیده می شوند. مثلا دو تک جمله 5xyو 2xy- متشابه اند. 7a۲ و a۲- نیز متشابه اند، ولی x۲ و xy متشابه نیستند. برای ساده کردن یک عبارت جبری، جمله های متشابه را با هم جمع یا تفریق می کنیم. اشکال هندسی و عبارت جبری:شکل های هندسی دارای ویژگی های زیادی هستند. مثلث را در نظر بگیرید دریایی از خصوصیت های زیبا می باشد ، ویژگی های نهفته در این شکل یکی پس از دیگری موج می زنند و به سمت ما حرکت می کنند.دایره، چهار ضلعی ها، چند ضلعی های منتظم ، ... در این دریا غوطه ورند.ویژگی های هر یک از شکل های هندسی را با عبارت جبری می توان بیان کرد به عنوان مثال مساحت هر یک از شکل های زیر را با یک عبارت جبری بیان می کنیم. توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع و تفریقخاصیت توزیع پذیری یا پخشی یکی از خاصیت های ضرب است.مردم برای خرید و فروش و محاسبه قیمت اجناس از این خاصیت زیبا فراوان استفاده می کنند.به مثال های زیر دقت کنید: این خاصیت برای جملات جبری نیز برقرار است. یعنی اگر  A و B و C چند جمله ای جبری باشند داریم:A ×(B+C)= (A×B) + (A×C)Fبه شکل های زیر توجه کنید. با توجه به اینکه هر دو شکل برابرند و در سمت راست مستطیل به دو قسمت تقسیم شده است، می توان نتیجه گرفت: مساحتهای این دو شکل با هم برابر است و تساوی زیر را نوشت.این تساوی توزیع پذیری ضرب را نسبت به جمع (تفریق) نشان می دهد. ضرب دو چند جمله ای: برای بدست آوردن حاصل این ضرب با توجه به خاصیت توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع و تفریق  می توان به صورت زیر عمل کرد: با توجه به شکل می توان گفت: شکل (1) در سمت چپ و شکل (2) در سمت راست با هم برابر هستند و در شکل (2) مربع به چهار قسمت تقسیم شده است. می توان نتیجه گرفت مساحتهای این دو شکل برابر است و تساوی زیر را نوشت: اتحاد ها: تساوی های جبری هستند که به ازای تمام مقادیر حقیقی درست می باشند. برای آسان شدن محاسبه از اتحاد ها کمک می گیرند. با کاربرد بیشتر اتحاد ها در دوره دبیرستان آشنا خواهید شد.اتحاد اول:اتحاد دوم:اتحاد سوم: ( اتحاد مزدوج)اتحاد چهارم: ( اتحاد جمله مشترک) مثال: تقسیم عبارتهای جبری:برای تقسیم چند جمله ای بر یک حمله ای کافی است که تک تک جملات چند جمله ای را بر یک جمله ای تقسیم کنیم. برای محاسبه حاصل تقسیم ضرایب عدی بر هم تقسیم می شوند و قسمتهای حروفی نیز در صورت امکان با هم ساده خواهند شد.مثال: فاکتور گیری:عبارت ab+ac را در نظر بگیرید. اگر این عبارت جبری را به صورت a(b+c)d  بنویسیم، به طوریکه a قسمت مشترک دو عبارت را تشکیل می دهد، اصطلاحا می گوییم از a فاکتور گرفته ایم. فاکتورگیری یکی از روشهای تبدیل یک عبارت جبری به صورت حاصل ضرب می باشد.نکته: برای بدست آوردن قسمت غیر مشترک از تقسیم کمک بگیرید.مثال: عبارت  3a۲ت+ 6ab را به صورت ضرب دو عبارت جبری بنویسید.حل:    در این قسمت به روش زیر عمل می کنیم:عبارتی جبری به شما نشان داده می شود. با دقت به عملیات انجام شده و تجزیه و تحلیل آن نظر خود را در مورد درستی یا نادرستی محاسبات بیان کنید. سپس روی قسمت «نتیجه» کلیک کنید تا جواب درست را مشاهده کنید. انشاء الله علاوه بر یادگیری نکات مربوط به این قسمت باعث گسترش مهارتهای شما نیز باشد.í درستی یا نادرستی هر یک از نکته های بیان شده در یک کادر را ، با ذکر دلیل بیان کنید. 1-نتیجه:  تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع را نشان می دهد.  2-نتیجه:  تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به تفریق را نشان می دهد.  3-نتیجه:   تساوی بالا نادرست می باشد.  4-نتیجه:  تساوی بالا نادرست می باشد.  5-نتیجه:  این عبارت درست است؛ به یاد داشته باشید که توان از ضرب بوجود  می آید.  6-نتیجه:  تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی پشت پرانتز تمام عبارتهای داخل پرانتز را قرینه می کند.  7-نتیجه:  تساوی بالا نادرست می باشد.  8-نتیجه:  تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی در پشت کسر تمام عبارتهای صورت کسر را قرینه می کند.  9-نتیجه:  عبارت بالا درست است و نشان می دهد عمل ضرب نسبت به عمل جمع در محاسبات اولویت دارد.  10-نتیجه:  این تساوی نادرست می باشد.  11-نتیجه:  این تساوی درست است و اتحاد اول نام دارد.  12-نتیجه:  این تساوی درست است و نشان می دهد که a-b و b-a  قرینه همدیگر هستند.  13-نتیجه:  این عبارت نادرست می باشد.، چون اگر ◦=x باشد،  یک کسر مبهم و نامشخص است.  14-نتیجه:  این عبارت درست است و می توان xها را ساده کرد. به طور کلی برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد.  15-نتیجه:  این تساوی درست است و اتجاد مزدوج را نشان می دهد.  16-نتیجه:  این عبارت درست است و نشان می دهد اگر جمع دو عدد مثبت مساوی صفر باشد، حتما هر دوی آن ها صفر هستند.  17-نتیجه:  این تساوی نادرست می باشد.عبارت درست به صورت زیر می باشد:  18-نتیجه:  این عبارت نادرست می باشد.مثال: اگر 5-=x ، آنگاه :   19-نتیجه:  این عبارت نادرست می باشد.مثال: اگر 3=x باشد ، آنگاه  20-نتیجه:  این عبارت درست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.  21-نتیجه: این عبارت نادرست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم جهت نامساوی عوض می شود.مثال: (5)(2-) > (3)(2-) a و 5>3                10-   >  6-  و این یک عبارت نادرست است. ( می دانیم  10-   6- )  مثال 1:با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1=2 می باشد. اشکال کار در کجاست؟a=bفرض کنیم a و b دو عدد مساوی باشند.       a+a=b+aبه دو طرف تساوی بالا مقدار a را اضافه کنید. 2a=b+aحاصل را بدست آورید. 2a-۲b=b+a-۲bاز دو طرف تساوی بالا 2b را کم کنید. 2a-۲b=a-bحاصل را بدست آورید. از دو فاکتور بگیرید. دو طرف تساوی را بر a-b تقسیم کنید.  1=2حاصل را بدست آورید، خواهیم داشت:   حل: اشکال کار در قسمت تقسیم می باشد. چون a=b پس a-b=0 و مخرج کسر برابر صفر است. و تقسیم بر صفر مبهم و نا مشخص است.به طور کلی: برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد. مثال2:با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1-=1 می باشد.. اشکال کار در کجاست؟a=-bفرض می کنیم a و b دو عدد قرینه هم هستند. a-a=-b-aاز دو طرف تساوی عدد a را کم کنید. a+b=-b-aدر سمت چپ بجای (a-) عدد b را قرار دهید. a+b=-(a+b)در سمت راست از علامت منفی فاکتور بگیرید. دو طرف تساوی را بر a+b تقسیم کنید. 1-=1حاصل را بدست آورید. خواهیم داشت:  حل: اشکال کار در عمل تقسیم می باشد. می دانیم برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد. اما چون a و b قرینه هم هستند، پس a+b برابر صفر است و تقسیم بر صفر مبهم و نامشخص است.   þ تست1 : در صورتی که بدانیم  آنگاه حاصل  چند است؟ د) 5ج)  صفرب) الف)     þ تست2 :  عمل * را به صورت a*b=a۲-۲b تعریف می کنیم. حاصل عبارت 2*(3-) کدام است؟ د)  6ج)  5ب) 13-الف)   12-  þ تست3 :   ساده شده عبارت  کدام است؟ د)  صفرج)   4x-ب) 4xالف)  2  þ تست4 :   اگر مقدار عددی عبارت x۳+xy به ازای 2-=x برابر صفر باشد، آنگاه مقدار y برابر است با: د) 3-ج)   4+ب)  4-الف)  صفر  þ تست5 :  حاصل  کدام است؟ د) 1ج)  ب)  2الف)  þ تست6 :  در صورتیکه قطر یک مربع (a+b) باشد، آنگاه مساحت این مربع برابر است با: د)ج)  ب)  الف)    þ تست7 :   عبارت n۲-n+۱۱ به ازای هر یک از عددهای طبیعی داده شده در زیر تبدیل به عددی اول خواهد شد، به غیر از یکی از آن ها ، آن یکی کدام است؟ د) 3ج)   5ب)  7الف)   11  þ تست8 :   مساحت مربعی به ضلع a برابر مساحت دایره ای به شعاع r می باشد.. نسبت  کدام است؟ د) ج)  ب) الف)    þ تست9 :  حاصل عبارت  برابر است با: د)  y+۱ج)  y+xب)  yالف)   xy  þ تست10 :  حاصل ضرب (1001)(999) برابر است با: د)  4-106ج)   1-106ب)  1+106الف)  106 
[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 22:56 ] [ حسین معصومی ]

:: بردار ::. مختصات:برای مشخص کردن نقاط صفحه می توانیم دو محور عمود بر هم با مبدأ مشترک در صفحه رسم کنیم. این دو محور را دستگاه مختصات می نامیم. ویژگی های صفحه مختصات: صفحه مختصات دارای ویژگیهای زیادی است. برای آشنایی شما با ویژگیهای زیبای این صفحه به روش زیر عمل می کنیم:تصویری برای شما به نمایش در می آید، با دقت به عملیات انجام شده روی تصویر و تجزیه و تحلیل آن،       نتیجه گیری خود را بیان کنید. سپس روی قسمت (نتیجه گیری) کلیک کنید، و نتایج خود را با نتیجه نوشته شده مقایسه کنید. از آن جا که شما در نتیجه گیری ها به ما کمک می کنید. لذا، امیدواریم این امر باعث تثبیت یادگیری و گسترش مهارتهای شما باشد. نتیجه گیری:í هر نقطه واقع در ناحیه اول طول و عرضش مثبت است.  نتیجه گیری:í هر نقطه واقع در ناحیه دوم طولش منفی و عرضش مثبت است.  نتیجه گیری:í هر نقطه واقع در ناحیه سوم طول و عرضش منفی است.  نتیجه گیری:í هر نقطه واقع در ناحیه چهارم طولش مثبت و عرضش منفی است.  نتیجه گیری:í قرینه نقطه  نسبت به محور طول نقطه  است.í قرینه نقطه  نسبت به محور عرض نقطه  است.í قرینه نقطه  نسبت به مبدأ مختصات نقطه  است.  راهنمایی برای دانش آموزان: خط d1 نیمساز ناحیه اول و سوم و خط d2 نیمساز ناحیه دوم و چهارم می باشند.نتیجه گیری:í قرینه نقطه  نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم نقطه  است.í قرینه نقطه  نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم نقطه  است. بردار: (Vector)بردار پاره خطی است جهت دار که دارای ابتدا و انتها باشد؛مانند بردار  که ابتدایش A و انتهایش B  می باشد. گاهی اوقات نیز بردار را با یک حرف نشان می دهند؛ مانند بردار هر بردار در صفحه دارای مختصات می باشد. برای مشخص کردن مختصات یک بردار ابتدا آن را به دو بردار یکی در امتداد افق (محور طول) و دیگری در امتداد قائم (محور عرض) تجزیه کرده و با توجه به جهت بردار ها مختصات آنرا می نویسیم.بردارها دارای ویژگیهای زیادی هستند و در ریاضی و فیزیک کاربرد فراوان دارند. برای آشنایی با برخی از ویژگیهای بردارها تصاویر را نگاه کنید و نتیجه گیری های خود را با نتایج ثبت شده مقایسه کنید.  نتیجه گیری:í هر برداری که موازی محور طول ها باشد ، عرض آن صفر است و هر برداری که عرض آن صفر باشد ، موازی محور طول هاست.  نتیجه گیری:í هر برداری که موازی محور عرض ها باشد، طول آن صفر است و هر برداری که طول آن صفر باشد، موازی محور عرض هاست.  نتیجه گیری:í بردارهای رسم شده با بردار  برابرند.í بردارهای موازی ، هم اندازه و هم جهت را بردارهای مساوی گویند.í مختصات همه بردارها برابر   می باشد.  نتیجه گیری: í بردارهای رسم شده دو به دو با هم قرینه اند.  í راهنمایی: در شکل (1) رابطه بین بردار   با سایر بردار ها و در شکل (2) رابطه بین بردار  با سایر بردارها را بیابید.نتیجه گیری:í در شکل (1) چون  می توان گفت: بردار  بردار حاصل جمع دو بردار  است.í در شکل (2) چون  می توان گفت: بردار  بردار حاصل جمع بردارهای می باشد.í هر گاه دو یا چند بردار دنبال هم باشند، برای یافتن حاصل جمع این بردارها کافی است ابتدای بردار اول را به انتهای بردار آخر وصل کنیم. این روش برای نشان دادن بردار حاصل جمع «روش مثلث» نام دارد.  نتیجه گیری:í برای بدست آوردن حاصل جمع دو بردار با ابتدای مشترک، می توانیم قطر متوازی الاضلاعی را که دو بردار روی آن رسم می شود ، به دست آوریم : این قاعده روش متوازی الاضلاع نامیده می شود.  نتیجه گیری:í این شکل ضرب یک عدد در بردار را نشان می دهد.با توجه به مختصات بردارها می توان نتیجه گرفت که :  نتیجه گیری:í این تصویر ضریب یک عدد منفی در بردار را نشان می دهد.با توجه به مختصات دو بردار می توان نوشت:به عبارت دیگر: بردارهای واحد مختصات:بردارهای  و  را بردارهای واحد مختصات می نامیم.معمولا پارچه فروش ها برای اندازه گیری پارچه از یک متر فلزی کوچک  استفاده میکنند. این متر فلزی به عنوان واحد اندازه گیری پارچه  کار آن ها را ساده تر می کند. در صفحه مختصات بردار i بردار واحد محور طول ها و بردار jبردار واحد محور عرض ها می باشد که هر برداری از صفحه را می توانیم بر حسب این بردار های واحد بدست آوریم.مثال:     1. اگر  باشند، دو بردار  مساویند در صورتیکه .مثال: مقادیر n , m را چنان بیابید که دو بردار  برابر باشند.حل: 2. اگر  باشند، دو بردار  بر هم عمودند در صورتیکه xx´+yy´ =0مثال: مقدار m را چنان بیابید که دو بردار  در مبدأ مختصات بر هم عمود باشند.حل: 3. اگر  دو نقطه در صفحه باشند، مختصات نقطه c وسط پاره خط AB عبارت است از: مثال: اگر  دو نقطه در صفحه باشند و نقطه  وسط پاره خط AB قرار داشته باشد، مقدار a کدام است؟حل: 4. بردار  برداری است که از انتهای  به انتهای  رسم شود. 5. حاصل جمع هر بردار با قرینه اش برابر صفر است.مثال: بردارهای  قرینه یکدیگر هستند.مقادیر n , m را بدست آورید.حل: 6. اگر o محل تلاقی قطرهای متوازی الاضلاع ABCD باشد، آنگاه: 7. اگر AM میانه نظیر ضلع BC از مثلث ABC باشد، آنگاه: 8. اگر N , M وسطهای اضلاع AC , AB از مثلث ABC باشند، آنگاه: 9. در متوازی الاضلاع ABCD داریم: 10. اگر عدد m ، عددی بین 1- و 1 باشد،  آنگاه اندازه بردار  از اندازه بردار  کوچکتر است.  þ تست1 : در شکل زیر ، مختصات بردار  کدام گزینه است؟     د)  ج) ب) الف)    þ تست2 :  با توجه به بردارهای مشخص شده در شکل زیر ، مختصات بردار  کدام گزینه است؟د)  ج) ب) الف)   þ تست3 :  در متوازی الاضلاع ABCD کدام گزینه درست است؟  د) ج)ب) الف)   þ تست4 :   برای چهار نقطه در صفحه داریم:  ، آنگاه: د) ج) ب) الف)    þ تست5 :  مختصات x در تساوی مقابل کدام است؟ د)ج)ب)  الف)   þ تست6 :  در متوازی الاضلاع مقابل حاصل  کدام است؟   د) ج)ب)الف)   þ تست7 :  اگر  دو نقطه در صفحه مختصات باشند و پاره خط AB قطری از دایره به مرکز باشد، مقدار m برابر است با: د) 8ج) 7ب) 6الف)  5 þ تست8 :   نقطه  بر محور طول ها و نقطه  بر محور عرض ها واقع اند. مقدار m+n برابر است با : د) ج) 1ب)  1-الف) صفر þ تست9 :   قرینه نقطه  نسبت به محور طول ها کدام است؟ د)ج)ب)  الف) þ تست10 :   نقطه B قرینه نقطه A نسبت به محور طول ها و نقطه C قرینه نقطه B نسبت به محور عرض ها می باشد. در این صورت کدام عبارت همواره صحیح است. ب) نقطه C قرینه نقطه A نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم است.الف)نقطه C وسط پاره خط AB است.د)  نقطه C در ناحیه سوم صفحه مختصات قرار می گیرد.ج)نقطه C قرینه نقطه A نسبت به مبدأ مختصات است. 
[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 22:52 ] [ حسین معصومی ]

.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::. الف: مجموعه عددهای صحیحعدد صحیح:(integer)صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را یک عدد صحیح      می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف  که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی «عدد صحیح» گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =  نمایش مجموعه عددهای صحیح:برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=Aمثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:الف): حل:  مجموعه A بیان می کند : « x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.» . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :{ 1- و 1+} =A  ب): حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.(2x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x  به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B جمع عددهای صحیح:الف) جمع با توجه به بردار:مثال: جمع متناظر با بردار  را بنویسید. حل:( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار) ( 3+ )  =     ( 5+ )   +   ( 2- ) ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.مثال: 7=5-12=(5-)+(12+) یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:11-=(4+7)-=(4-)+(7-)5-=(10-15)-=(10+)+(15-)4-=(8-12)-=(12-)+(8+) تفریق عددهای صحیح:الف) تفریق با استفاده از بردار:مثال:  تفریق متناظر با بردار  را بنویسید.  حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)                           ( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ ) ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار: برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:a-b = a+(-b)مثال:22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)  ب: مجموعه عددهای گویاعدد گویا: (rational Number):گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند  یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 که به ترتیب به شکل کسرهای  نوشته می شوند ، را یک عدد گویا می نامیم. مجموعه عددهای گویا: این مجموعه شامل تمام اعداد گویا است، این مجموعه را با حرف Q که حرف اول کلمه Quotient  است، نمایش می دهند.نمایش مجموعه عددهای گویا به زبان ریاضی به صورت زیر است: نماد اعشاری اعداد گویا:برای مشخص کردن نماد اعشاری اعداد گویا کافی است صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنیم. با این تقسیم امکان ایجاد دو نوع عدد اعشاری در خارج قسمت وجود دارد:1) عدد اعشاری مختوم2) عدد اعشاری متناوب مثال: 1- عدد اعشاری مختوم:اگر در هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم، عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است. عدد اعشاری مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آن ها را به صورت کسر تبدیل کرد مانند: 2- عدد اعشاری متناوب:اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقی مانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود، این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد.اعداد اعشاری متناوب به صورت  نوشته می شوند و بدین معنی است که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند. مانند:نکته1: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع شوند، عدد اعشاری متناوب ساده است و برای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد: مثال: نکته 2: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع نشوند، عدد اعشاری متناوب مرکب است وبرای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:مثال:نتیجه:  اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب باشند، قابل تبدیل به کسر هستند.اعدادی مانند  که در هنگام جذر گرفتن به باقیمانده صفر نمی رسند و جواب بدست آمده نه مختوم می شود و نه متناوب ، قابل تبدیل شدن به کسر نیستند و این بدان معنی است که گویا نمی باشند و غیر از اعداد گویا اعداد دیگری هم وجود دارد. محور اعداد گویا:عدد  را بر روی محور مشخص کنید.حل: برای این کار کافی است فاصله بین 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم و 3 تا از آن را انتخاب کنیم. تساوی کسرها و کسر علامت دار:عدد  را روی محور نشان داده و با هم مقایسه کنید.چنانچه مشاهده می کنید دو عدد   برابرند. یعنی بر روی محور این اعداد یک نقطه را مشخص می سازند. می دانیم  به صورت زیر بدست آمده است:(صورت و مخرج  در عدد 2 ضرب شده است)        بنابراین می توان گفت: اگر صورت و مخرج کسر  را در عدد غیرصفر n ضرب کنیم، کسر   بدست می آید که با کسر اولیه برابر است. گویا کردن یک کسر:هر گاه مخرج یک کسر ، رادیکال داشته باشد، چنانچه عملی انجام دهیم تا رادیکال مخرج حذف شود، این عمل را گویا کردن کسر گویند.1. اگر کسر به صورت  باشد. (0b) برای گویا کردن کسر، صورت و مخرج کسر را در  ضرب می کنیم. مثال:  2. اگر کسر به صورت  باشد ، (0a,b) صورت و مخرج را در  ضرب می کنیم. مثال:    1. قاعده دور در دور و نزدیک در نزدیک در تقسیم به صورت مقابل می باشد.  2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوی یک می باشد.مثال: اگر A و  وارون یکدیگر باشند، مقدار A چقدر است؟ 3. هر گاه  اعداد گویا باشند،  بین آن دو قرار دارد.مثال: بین دو کسر  ، پنج کسر دیگر بنویسید.با توجه به این نکته می توان نوشت:  و به همین ترتیب 5 کسر در بین این دو عدد مشخص می شود.á بین دو عدد گویا چند عدد وجود دارد؟ 4. عدد گویای  را تحویل ناپذیر گویند هر گاه ب.م.م a و b مساوی یک باشد.مثال: .  اگر کسر  قابل ساده شدن باشد، عدد گویای  را تحویل پذیر می نامند ؛ مانند   . 5. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) فقط عامل های 2 و 5 باشد ، آن کسر به عدد اعشاری مختوم تبدیل می شود.مثال: 6. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) عامل های 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب ساده تبدیل می شود.مثال: 7. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) ، علاوه بر عامل های 2 و 5 عاملهای اول دیگری نیز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب مرکب تبدیل می شود.مثال:   þ تست1 : مجموعه ی  با کدامیک از مجموعه های زیر مساوی است؟ د) {0,1}ج) {1, 1-}ب) {0}الف)  {1}   þ تست2 :  مجموعه ی   کدام است؟ د) { }=Øج) {2, 1, 0, 1-, 2-}ب) {2, 1}الف) {2, 1, 0, 1-, ...}  þ تست3 :  حاصل عبارت [8-(4-2)5-1]3-3- برابر است با: د)3-ج) 6-ب) 18-الف) 12-  þ تست4 :  نصف عدد  برابر است با: د)  ج) ب) الف)   þ تست5 :  به جای a چه عددی می توانیم قرار دهیم تا دو کسر زیر معکوس یکدیگر باشند؟ د) 5-ج) 4-ب)1الف)  2  þ تست6 :  حاصل عبارت  چقدر است؟ د)  8ج)ب)  4الف)   þ تست7 :  کدام یک از اعداد زیر گویا است؟ د)ج) ب)  الف)  þ تست8 :  کدام یک از کسرهای زیر به صورت عدد اعشاری مختوم قابل نمایش است؟ د)  ج) ب) الف)   þ تست9 :   از صورت کسر  چند واحد کم کنیم تا کسر حاصل مساوی  شود؟ د)  ج) ب) 5الف) 7  þ تست10 :  به ازای کدام مقدار a کسر  مولد عدد اعشاری متناوب  است؟ د)  3ج) 2ب) 7الف) 5  þ تست11 :  با دقت در ارتباط بین اعداد رشته روبرو با اعداد طبیعی بگویید به جای نقطه چین چه عددی باید نوشت؟            .... , 27 , 8 , 1 د)  56ج) 64ب)  39الف) 47  þ تست12 :  حاصل   برابر است با: د) ج)  ب)  الف)  
[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 22:50 ] [ حسین معصومی ]

.:: جذر ::.

 

جذر (root):

جذر به معنی ریشه ، بن و پایه است. در ریاضیات جذر گرفتن عکس عمل به توان رساندن می باشد.

عددهایی مانند 49 , 16 , 4 , ... را که جذر دقیق دارند ، مجذور یا مربع کامل می نامند.

توجه: در دوره راهنمایی فقط جذر حسابی ( جذر مثبت) عدد را در نظر می گیریم و آنرا با علامت  نشان می دهیم.

محاسبه مقدار جذر:

ابتدا محاسبه مقدار تقریبی جذر اعداد در کلاس دوم را یاد آوری می کنیم:

اگر b دو عدد مثبت باشند، جذر عددی مانند N از رابطه زیر بدست می آید:

مثال: جذر عدد 95 را تا یک رقم اعشار به دست آورید.      

برای محاسبه جذر یک عدد ، روش دقیقتری وجود دارد که به کمک این روش می توانیم جذر یک عدد را تا هر تقریبی که بخواهیم ، حساب کنیم . پس از مطالعه چگونگی جذر از کتاب درسی ، جهت فراگیری بهتر به مثال های زیر توجه کنید.

مثال 1: جذر عدد 1238 را با تقریب نقصانی کمتر از یک بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

نکته: در محاسبه جذر تقریبی مقصود از تقریب نقصانی کمتر از یک این است که:

حاصل جذر بدون رقم اعشاری محاسبه و بیان شود.

در این صورت اختلاف جذر گرفته شده با جذر واقعی با دقت کمتر از یک واحد می باشد.

مثال 2: جذر عدد 1238 را تا یک رقم اعشار بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

مثال 3: جذر عدد 2/56 را تا دو رقم اعشاری بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

امتحان جذر:

اگر یک جذر را درست انجام داده باشیم:

الف- دو برابر جذر به اضافه یک از باقیمانده ی جذر بزرگتر است.

ب- مجذور جذر به اضافه باقیمانده ، مساوی عدد داده شده است.

نکته: اگر بخواهیم جذر یک عدد اعشاری را امتحان کنیم، در مورد قسمت الف قبل از درج ممیزها، امتحان جذر را انجام می دهیم.

 

 

1.

 

اگر زیر رادیکال جمع یا تفریق داشته باشیم ، نمی توانیم از تک تک جملات جذر بگیریم بلکه باید حاصل جمع یا تفریق را به دست آورده سپس جذر بگیریم.

2. جذرگیری از راه تجزیه: می خواهیم جذر عددی را از راه تجزیه محاسبه کنیم، ابتدا عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم. سپس از حاصل ضرب آن عوامل جذر می گیریم.

اگر نمای عددی زوج باشد، کافی است پایه را نوشته و نمای آن را نصف کنیم.

مثال:

                           

 

 

 


 

þ تست1 : 

در یک عمل جذرگیری تقریبی از یک عدد، امتحان آن به صورت 23<1+12×2 شده است. آن عدد کدام گزینه    می تواند باشد؟

 

د)  ب و ج

ج) 67/1

ب) 0167/0

الف) 167/0

 


 

 þ تست2 :  

جذر مثبت حاصل ضرب دو عدد   72 ×5 ×2و 112×53×2  برابر است با:

 

د) 8700

ج) 8500

ب) 7800

الف) 7700

 


 

þ تست3 :  

حاصل  کدام است؟

 

د) 1-

ج) 1

ب) 

الف) 

 


 

þ تست4 :  

در کدام گزینه همواره  بزرگ تر از a می شود؟

 

د) 1> a >ا

ج)   > a

ب)  < a

الف)  ◦ = a

 


 

þ تست5 :  

5.اگر 25=x ٥ باشد، مقدار عددی عبارت

کدام است؟

د) 

ج) 5

ب) 25

الف)  2

 


 

þ تست6 :  

در معادله توانی مقابل مقدار x کدام است؟

 

د) 8

ج) 7

ب) 6

الف) 5

 

[ یکشنبه ششم اسفند 1391 ] [ 22:47 ] [ حسین معصومی ]
:: مجموعه عددهای طبیعی ::.

عددهای طبیعی: (natural nmuber)

طبیعی منسوب به طبیعت است و به معنی آنچه به طبیعت اختصاص دارد و مربوط به طبیعت است ، می باشد. هر یک از اعداد 1, 2 , 3, ... که در طبیعت برای شمارش از آن ها استفاده می شود را عدد طبیعی می نامیم. مجموعه عددهای طبیعی شامل اعداد طبیعی می باشد و آنرا با حرف که از کلمه انگلیسی Natural گرفته شده است، نمایش می دهند.

{... , 3, 2, 1} =

عدد اول : (Prime Number)

هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و عدد یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود. 2, 3, 5, 7 اعداد اول کوچکتر از 10 می باشند؛ هر عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد ، عدد مرکب نامیده می شود. 4, 6, 8, 9, اعداد مرکب کوچکتر از 10 هستند؛ عدد 1 نه اول است و نه مرکب.

تعیین عددهای اول:

برای مشخص کردن اعداد اول از بین عددهای طبیعی از الگوریتم غربال اراتستن استفاده می شود.

(sieve Algorithm of Eratosthenes)

اراتستن نام ریاضی دان و منجم یونانی است و غربال در فارسی به معنی جداکردن می باشد و الگوریتم به روشی از محاسبه گفته می شود که در آن ، محاسبات مرحله به مرحله انجام می شود و محاسبه هر مرحله نیز به مراحل قبلی بستگی دارد.

مراحل کار برای تعیین عددهای اول بین 1 و عدد طبیعی n به ترتیب نمودار زیر انجام می شود.

آزمون تشخیص اعداد اول:

برای بررسی اول بودن یک عدد ، ابتدا تمام اعداد اولی را که مربع آن ها کوچک تر یا مساوی عدد مورد نظر است، فهرست می کنیم. اگر عدد مورد نظر بر هیچکدام از آن ها بخشپذیر نباشد اول است؛ در غیر این صورت ، آن را «عدد مرکب» می نامیم.

مثال: عدد 113 اول است یا مرکب؟

به عبارتی دیگر قاعده تشخیص اعداد اول را می توان این گونه بیان کرد:

عدد طبیعی n در صورتی اول است که بر هیچ کدام از اعداد اول کوچک تر یا مساوی بخشپذیر نباشد.

حل مسئله: در برخی از مسئله ها، تغییرات دو مقدار طوری است که حاصل ضرب آن ها ثابت می ماند. با مقایسه دو مقدار می توان فهمید که بین آن ارتباط معکوسی وجود دارد یعنی با زیاد شدن مقدار یکی، مقدار دیگری کاهش می یابد و برعکس. با تشخیص این موضوع و توجه به آن می توانیم این گونه مسئله ها را حل کنیم.

مثال: برای نقاشی یک ساختمان 3 کارگر 18 روز کار کردند. اگر می خواستند کار زودتر انجام شود، تعداد کارگران را باید بیشتر می کردند یا کمتر؟ اگر تعداد کارگر ها 6 نفر بود، این کار چند روزه انجام می شد؟

حل: تعداد کارگران باید بیشتر شود تا کار زودتر انجام گیرد.

می دانیم 3 کارگر 18 روز کار کرده اند ، حالا اگر تعداد کارگرها 6 نفر شود می توانیم رابطه زیر را در مورد این دو مقدار بنویسیم:

و سپس آنرا از راه معادله حل کنیم:

بنابراین: 6 کارگر 9 روزه کار را تمام خواهند کرد.

در این مسئله با افزوده شدن کارگران ، زمان کار کم می شود، یعنی حاصل ضرب تعداد کارگران با زمان همواره مقداری ثابت است.

توان:

معادله توانی: معادله توانی معادله ای است که که در آن مجهول به صورت توان ظاهر شده است. مانند: 2x=۸. برای حل چنین معادله هایی در صورت امکان دو طرف معادله را به دو عدد تواندار با پایه های مساوی تبدیل می کنیم ؛ آنگاه توانهای دو طرف را با هم مساوی قرار می دهیم و جواب معادله را بدست می آوریم.

مثال: معادله های توانی زیر را حل کنید.

حل: دو طرف تساوی بالا فقط در صورتی می توانند با هم مساوی باشند ، که توان عدد 7 برابر صفر باشد. بنابراین می توان نوشت:

1. هر عدد طبیعی بزرگتر از یک لااقل یک مقسوم علیه اول دارد.

2. اگر n عدد طبیی باشد ، داریم:

مثال: عدد 8 10×5 چند رقمی است؟

حل: 9 رقمی است. زیرا:

3.

4. برای تجزیه یک عدد به عامل های اول، لازم است چند عدد اول از مجموعه اعداد اول را به خاطر سپرده و عدد را به ترتیب بر آنها تقسیم کنیم تا باقیمانده صفر شود.

مثال:

5. هر عدد منفی به توان عددی زوج برسد ، حاصل عددی مثبت است و اگر عدد منفی به توان عددی فرد برسد، حاصل عدد منفی خواهد بود.

6. اگر مجموع یا تفاضل دو عدد اول ، عددی فرد باشد ، حتما یکی از آن دو عدد 2 است.

7. در هر تناسب حاصل ضرب طرفین با حاصل ضرب وسطین مساوی است:

8. در تناسب هر نوع تغییر در آرایش صورت و مخرج نسبتها به شرطی که تساوی ad=bc برقرار باشد، مجاز می باشد.

مثال:

þ تست1 :

تعداد اعداد اول بین 1 و 500 چند تا است؟

د) بین 250 تا 300 عدد

ج) 250 عدد

ب) کمتر از 250 عدد

الف) بیشتر از 250 عدد


þ تست2 :

چند عدد اول وجود دارد که مجموع ارقامش 12 باشد.

د) 3

ج) 2

ب) 1

الف) صفر


þ تست3 :

عدد 2k+k به ازای کدام مقدار k ، عدد اول است؟

د) 4

ج) 5

ب) 6

الف) 7


þ تست4 :

در انجام الگوریتم غربال ، به عدد n رسیده ایم. اولین عددی که باید خط بزنیم کدام است؟

د) (n+۱)اn

ج) n۲-n

ب)n۲

الف) n


þ تست5 :

سه نفر برای انجام کاری 80 روز وقت نیاز دارند. پس از انجام کار، یک نفر به آن ها اضافه شد، تمام کار در چند روز انجام می شود.؟

د)72

ج)70

ب)60

الف) 75


þ تست6 :

به 9 لیتر آب نمک %50 ، چند لیتر آب اضافه کنیم تا آب نمک %30 بدست آید؟

د) 6

ج) 5/4

ب) 5/10

الف) 5/1


þ تست7 :

هرگاه 8 گاو در 5 روز صد لیتر شیر بدهند، 6 گاو در چند روز 150 لیتر شیر می دهند؟

د) 10

ج) 8

ب) 6

الف) 4


þ تست8 :

نسبت x بر عدد ثابتی است. وقتی که 10=x است ، 3=y می باشد. اگر 5=y باشد ؛ x چقدر است؟

د) 15

ج)

ب) 6

الف)


þ تست9 :

اگر باشد، مقدار X کدام است؟

د) 5

ج) 3-

ب) صفر

الف)3


þ تست10 :

مقدار X در تساوی کدام است؟

د) 3-

ج) 2

ب)

الف)


þ تست11 :

در تساوی روبرو مقدار a کدام است؟

د) 4

ج) 3

ب) 2

الف) 1

[ سه شنبه نهم آبان 1391 ] [ 16:36 ] [ حسین معصومی ]

فهرست فصلهاي ریاضی سال سوم دوره راهنمايي

 

. بخش اول : حساب و مجموعه های اعداد

مجموعه ی عدد های طبیعی

جذر

مجموعه ی عدد های صحیح و گویا

 

. بخش دوم : مختصات و جبر

بردار

جبر

معادله

 

. بخش سوم : هندسه ی 1

زاویه و دایره

رابطه ی فیثاغورس

دوران

 

. بخش چهارم : اعداد حقیقی و آمار

مجموعه عددهای حقیقی

آمار

 

. بخش پنجم : معادله های خطی

معادله ی خط

دستگاه معادله های خطی

 

. بخش ششم : هندسه ی 2

خطوط موازی و قضیه ی تالس

تشابه

حجم

[ سه شنبه نهم آبان 1391 ] [ 16:26 ] [ حسین معصومی ]
.: Weblog Themes By Pichak :.

آرشيو مطالب
امکانات وب
  • قدس
  • راکت